Resolver x^√(log x) = 10¹²⁵, donde log es el logaritmo en base 10.

Step-by-step solution

1. 1

   Haz un cambio de variable para que ambos lados sean potencias de 10. El obstáculo es que $x$ aparece en la base y dentro del exponente. Tomando

   $y=\log x\quad\Longleftrightarrow\quad x=10^{y}$

   la base se convierte en una potencia de $10$ y el exponente en $\sqrt{y}$, con lo que coincide con la forma del lado derecho.

2. 2

   Reescribe la ecuación con el cambio y usa la regla de la potencia de una potencia.

   $\left(10^{y}\right)^{\sqrt{y}}=10^{125}\quad\Longrightarrow\quad 10^{\,y\sqrt{y}}=10^{125}$

3. 3

   Iguala los exponentes. Como $t\mapsto 10^{t}$ es inyectiva, los exponentes deben ser iguales:

   $y\sqrt{y}=125\quad\Longrightarrow\quad y^{3/2}=125$

   Observa que $y\sqrt y=y^{1}\cdot y^{1/2}=y^{3/2}$, y que hace falta $y\ge0$ para que $\sqrt{\log x}$ sea real.

4. 4

   Resuelve la ecuación con exponente fraccionario. Eleva ambos lados a la potencia $\tfrac23$, la inversa de $\tfrac32$:

   $y=125^{2/3}=\left(5^{3}\right)^{2/3}=5^{2}=25$

5. 5

   Deshaz el cambio de variable. De $y=\log x=25$:

   $x=10^{25}$

6. 6

   Comprueba la respuesta en la ecuación original. Con $x=10^{25}$, $\log x=25$ y $\sqrt{\log x}=5$, así que el lado izquierdo es $\left(10^{25}\right)^{5}=10^{125}$, exactamente el lado derecho. La aritmética de exponentes $25\times5=125$ es toda la comprobación.