Divide (a² − 3a − 18)/(2a² − 11a − 6) entre (a² + a − 6)/(2a² − a − 1) y simplifica.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza las dos cuadráticas mónicas. Para $a^{2}-3a-18$ busca números cuyo producto sea $-18$ y cuya suma sea $-3$; para $a^{2}+a-6$, producto $-6$ y suma $1$:

   $a^{2}-3a-18=(a-6)(a+3),\qquad a^{2}+a-6=(a+3)(a-2)$

2. 2

   Factoriza las dos cuadráticas no mónicas con el método ac. Para $2a^{2}-11a-6$: $ac=-12$, y $-12$ con $1$ suman $-11$; para $2a^{2}-a-1$: $ac=-2$, y $-2$ con $1$ suman $-1$:

   $2a^{2}-11a-6=(2a+1)(a-6),\qquad 2a^{2}-a-1=(2a+1)(a-1)$

3. 3

   Invierte el divisor y escribe todo factorizado.

   $\frac{(a-6)(a+3)}{(2a+1)(a-6)}\cdot\frac{(2a+1)(a-1)}{(a+3)(a-2)}$

4. 4

   Cancela a lo largo del producto. En un producto de fracciones, cualquier factor de arriba puede cancelarse con cualquier factor de abajo: $(a-6)$, $(2a+1)$ y $(a+3)$ aparecen una vez arriba y una vez abajo:

   $\frac{a-1}{a-2}$

   $\boxed{\dfrac{a-1}{a-2}}\qquad\left(a\neq 6,\ -\tfrac12,\ -3,\ 2\right)$

5. 5

   Comprueba con un valor de prueba. En $a=0$: la expresión original vale $\dfrac{-18}{-6}\div\dfrac{-6}{-1}=3\div 6=\tfrac12$, y la respuesta da $\dfrac{-1}{-2}=\tfrac12$ ✓.

6. 6

   Anota todos los valores excluidos. En la forma final solo se ve $a=2$, pero $a=6$, $a=-\tfrac12$ y $a=-3$ también quedaron excluidos por los denominadores de la expresión original y por la condición de que el divisor no sea cero — hay que arrastrarlos aunque la fracción simplificada esté perfectamente definida ahí.