¿Es cierto que u_n − u_(n−1) = d en una progresión aritmética? Demuéstralo e indica cuándo falla.

Step-by-step solution

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   Recuerda el término general. Una progresión aritmética de primer término $u_{1}$ y diferencia común $d$ cumple

   $u_{n}=u_{1}+(n-1)d\qquad (n\ge 1)$

   Esta es la forma cerrada; lo que hay que demostrar es la forma recursiva que se esconde dentro de ella.

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   Escribe el término anterior sustituyendo $n$ por $n-1$.

   $u_{n-1}=u_{1}+\left((n-1)-1\right)d=u_{1}+(n-2)d\qquad (n\ge 2)$

   La restricción $n\ge 2$ importa: en una sucesión indexada desde $1$ no existe $u_{0}$.

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   Resta las dos expresiones. Los términos $u_{1}$ se cancelan y los coeficientes de $d$ se diferencian en exactamente una unidad:

   $u_{n}-u_{n-1}=\left[u_{1}+(n-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-2)d\right]=\left[(n-1)-(n-2)\right]d=d$

   Así que sí, la identidad se cumple para todo $n\ge 2$, y el resultado $d$ no depende de $n$: el salto es el mismo en toda la sucesión.

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   Generaliza a términos no contiguos. La misma resta con índices cualesquiera da

   $u_{m}-u_{n}=\left[u_{1}+(m-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-1)d\right]=(m-n)d$

   siendo $u_{n}-u_{n-1}=d$ el caso particular $m=n$, $n\to n-1$.

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   Comprueba con una sucesión concreta. Con $u_{1}=3$ y $d=2$: $u_{2}=5$, $u_{3}=7$, $u_{4}=9$. Entonces $u_{4}-u_{3}=9-7=2=d$ ✓ y $u_{4}-u_{2}=9-5=4=(4-2)d$ ✓.

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   Enuncia el recíproco y el caso en que falla. La identidad no es solo una consecuencia de ser aritmética: la caracteriza. Si $u_{n}-u_{n-1}$ vale la misma constante para todo $n$, la sucesión es aritmética. En una sucesión cualquiera la diferencia no tiene por qué ser constante; por ejemplo, para $u_{n}=n^{2}$ vale $u_{n}-u_{n-1}=2n-1$, que cambia con $n$. Así que la fórmula solo se puede usar una vez que se sabe que la sucesión es aritmética.