Simplifica (2x² + 7x + 3)/(x + 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Anota la restricción antes de simplificar. El denominador se anula en $x=-3$, así que ahí la expresión no está definida. Cualquiera que sea la forma simplificada, esa exclusión tiene que arrastrarse junto con ella.

2. 2

   Descompón el término central. Para factorizar $2x^{2}+7x+3$, busca dos números cuyo producto sea $a\cdot c=2\times3=6$ y cuya suma sea $b=7$. Son $6$ y $1$:

   $2x^{2}+7x+3=2x^{2}+6x+x+3.$

   El orden de la descomposición no importa; cualquiera de las dos disposiciones se agrupa bien.

3. 3

   Factoriza por agrupación. Sacando $2x$ del primer par y $1$ del segundo:

   $2x(x+3)+1(x+3)=(2x+1)(x+3).$

   La aparición de $(x+3)$ —exactamente el denominador— es el objetivo del ejercicio. Al desarrollar de vuelta se obtiene $2x^{2}+6x+x+3$ ✓.

4. 4

   Cancela el factor común. Siempre que $x\ne-3$, el factor $(x+3)$ se divide:

   $\frac{(2x+1)(x+3)}{x+3}=2x+1.$

   Cancelar solo es válido porque $x+3\ne0$; se trata de una división, no de igualar un factor a cero.

5. 5

   Da la respuesta con su dominio. La expresión simplificada es

   $2x+1,\qquad x\ne-3.$

   La gráfica es la recta $y=2x+1$ con un hueco en $x=-3$, donde la recta pasaría por $(-3,-5)$: una discontinuidad evitable. Comprobando en $x=1$: la original da $\tfrac{2+7+3}{4}=3$ y la forma simplificada da $3$ ✓.