La función f(x) = |x − 5| se traslada 4 unidades a la izquierda. Escribe la nueva función.

Step-by-step solution

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   Recuerda la regla del desplazamiento horizontal y por qué parece del revés. Para desplazar una gráfica $h$ unidades a la izquierda, sustituye $x$ por $x+h$; para desplazarla a la derecha, sustituye $x$ por $x-h$. La razón es que la nueva función debe alcanzar una salida dada antes, es decir con una $x$ menor, así que hay que adelantar la entrada.

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   Localiza el vértice actual. $\left|x-5\right|$ vale cero cuando $x=5$, así que la V tiene su vértice en $(5,0)$. Seguir ese único punto es la forma más rápida de comprobar cualquier traslación.

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   Aplica la sustitución $x\mapsto x+4$.

   $f(x+4)=\left|(x+4)-5\right|=\left|x-1\right|$

   Las dos constantes se combinan dentro de las barras: $+4-5=-1$.

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   Comprueba que el vértice se movió en el sentido correcto. La nueva función $\left|x-1\right|$ tiene su vértice en $(1,0)$, y $5-4=1$ ✓: cuatro unidades a la izquierda, como se pedía. Si por error hubieras usado $x-4$, el resultado sería $\left|x-9\right|$ con vértice en $9$, cuatro unidades a la derecha.

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   Confirma que no cambió nada más. La forma sigue siendo una V con pendientes $\pm1$ y la gráfica nunca baja del eje $x$, porque solo se alteró la posición horizontal. Por ejemplo, $f(0)$ pasa de $5$ a $1$, y el nuevo valor coincide con la función antigua evaluada en $0+4=4$, que es $\left|4-5\right|=1$ ✓.