Resolver el sistema homogéneo x + 2y − 2z = 0, 2x − y + z = 0, 3x + y − z = 0.

Step-by-step solution

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   Notar que la solución trivial siempre existe. Todos los segundos miembros son $0$, así que $(0,0,0)$ resuelve el sistema de manera automática. La pregunta interesante es si hay otras, lo cual ocurre exactamente cuando las tres ecuaciones son linealmente dependientes.

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   Sumar las ecuaciones 2 y 3 para eliminar dos variables de una vez. El $-y$ y el $+y$ se cancelan, y lo mismo pasa con $+z$ y $-z$:

   $(2x-y+z)+(3x+y-z)=5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   Vale la pena detectar este emparejamiento: dos variables desaparecen en una sola suma porque las ecuaciones 2 y 3 tienen coeficientes de $y$ y de $z$ exactamente opuestos.

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   Sustituir $x=0$ en las ecuaciones restantes. La ecuación 2 queda $-y+z=0$, así que $z=y$. La ecuación 1 queda $2y-2z=0$, así que otra vez $y=z$: la misma condición, no una nueva. Esa repetición es la huella algebraica de un sistema dependiente: tres ecuaciones imponen apenas dos restricciones independientes.

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   Parametrizar el conjunto solución. Con $x=0$ y con $y=z$ libres de moverse juntas, se toma $y=z=t$:

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

   Geométricamente los tres planos contienen todos la recta generada por $(0,1,1)$, así que se cortan en una recta y no en un único punto.

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   Verificar con el determinante y por sustitución. Desarrollando por la primera fila,

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&1\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-1)-2(-2-3)-2(2+3)=0+10-10=0,$

   lo que confirma que debe existir una solución no trivial. Comprobando $(0,1,1)$: $0+2-2=0$ ✓, $0-1+1=0$ ✓, $0+1-1=0$ ✓.