Encuentra el dominio de f(x) = 6/(x − 15) + 6/(x + 12) y da la respuesta en notación de intervalos.

Step-by-step solution

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   Identifica qué puede fallar. La expresión es una suma de dos términos racionales, sin radicales ni logaritmos, así que la única restricción es la división por cero. Hay que revisar cada denominador por separado — un valor que anule cualquiera de los dos anula la función completa.

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   Iguala a cero cada denominador y resuelve.

   $x - 15 = 0 \ \Longrightarrow\ x = 15, \qquad x + 12 = 0 \ \Longrightarrow\ x = -12$

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   Resiste la tentación de combinar primero las fracciones. Al sumarlas queda $\dfrac{6(x+12) + 6(x-15)}{(x-15)(x+12)} = \dfrac{12x - 18}{(x-15)(x+12)}$. El denominador combinado tiene los mismos dos ceros, así que aquí nada cambia — pero si un factor del numerador hubiera cancelado uno de ellos, la función original seguiría estando indefinida ahí. Las restricciones se leen siempre en la forma original.

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   Quita los dos puntos de la recta real. Al eliminar $-12$ y $15$ de $\mathbb{R}$ quedan tres intervalos abiertos, ordenados de izquierda a derecha:

   $(-\infty,\, -12) \cup (-12,\, 15) \cup (15,\, \infty)$

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   Prueba un valor en cada intervalo. En $x = -20$: $\tfrac{6}{-35} + \tfrac{6}{-8} = -0.9214$, está definida. En $x = 0$: $\tfrac{6}{-15} + \tfrac{6}{12} = 0.1$, está definida. En $x = 20$: $\tfrac{6}{5} + \tfrac{6}{32} = 1.3875$, está definida. En $x = 15$ y $x = -12$ la función tiene asíntotas verticales.