Factoriza por completo (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) - 5x².

Step-by-step solution

1. 1

   Empareja los paréntesis para que coincidan las constantes. Hay tres maneras de repartir cuatro factores en dos parejas; la útil es la que hace coincidir los términos constantes. Como $(-1)(6)=-6$ y $(-2)(3)=-6$, se empareja el primero con el cuarto y el segundo con el tercero:

   $(x-1)(x+6)=x^{2}+5x-6,\qquad (x-2)(x+3)=x^{2}+x-6.$

   Cualquier otro emparejamiento da dos cuadráticas con constantes distintas y sin estructura común que aprovechar.

2. 2

   Introduce una sustitución para la parte común. Ambas cuadráticas contienen $x^{2}+x-6$, porque

   $x^{2}+5x-6=\left(x^{2}+x-6\right)+4x.$

   Al tomar $y=x^{2}+x-6$, la expresión se convierte en

   $(y+4x)\,y-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}.$

   Ahora es una cuadrática homogénea en las dos cantidades $y$ y $x$ — mucho más fácil que una cuártica general.

3. 3

   Factoriza la cuadrática en $y$. Busca dos términos cuyo producto sea $-5x^{2}$ y cuya suma sea $4x$: son $5x$ y $-x$. Por lo tanto

   $y^{2}+4xy-5x^{2}=(y+5x)(y-x).$

   La comprobación es inmediata: $(y+5x)(y-x)=y^{2}-xy+5xy-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}$ ✓.

4. 4

   Deshaz la sustitución. Al reemplazar $y=x^{2}+x-6$ en cada factor:

   $y+5x=x^{2}+x-6+5x=x^{2}+6x-6,\qquad y-x=x^{2}+x-6-x=x^{2}-6.$

   Por lo tanto

   $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)-5x^{2}=\left(x^{2}+6x-6\right)\left(x^{2}-6\right).$

5. 5

   Comprueba y observa las raíces. Comprobación numérica en $x=1.7$: la expresión original da $-22.0499$ y la forma factorizada da $-22.0499$ ✓. Ninguno de los dos factores es reducible sobre los racionales: $x^{2}-6$ tiene raíces $\pm\sqrt6$ y $x^{2}+6x-6$ tiene discriminante $36+24=60$, lo que da las raíces $-3\pm\sqrt{15}$. Así que las cuatro raíces son irracionales, y por eso ninguna cantidad de pruebas con raíces racionales habría encontrado esta factorización.