Resuelve 2x + 2(lambda)x + mu = 0 para x, tratando lambda y mu como parámetros.

Step-by-step solution

1. 1

   Agrupa los términos en $x$ y factoriza. Los dos términos con variable llevan un factor $2x$:

   $2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)\quad\Longrightarrow\quad 2x(1+\lambda)+\mu=0$

2. 2

   Despeja el producto. Resta $\mu$:

   $2x(1+\lambda)=-\mu$

3. 3

   Divide solo cuando el coeficiente no es cero. Dividir entre $2(1+\lambda)$ exige que $1+\lambda\neq 0$:

   $x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)},\qquad\lambda\neq-1$

   Dividir sin comprobarlo es el error que esconde toda la segunda mitad de la respuesta.

4. 4

   Trata el caso degenerado $\lambda=-1$. Entonces el coeficiente de $x$ es cero y la $x$ desaparece por completo:

   $2x-2x+\mu=0\quad\Longrightarrow\quad\mu=0$

   Así que, si $\mu=0$, la ecuación queda $0=0$ y todo número real $x$ es solución; si $\mu\neq 0$ es una contradicción y no hay solución.

5. 5

   Comprueba numéricamente la fórmula general. Toma $\lambda=2$, $\mu=-1$: entonces $x=\tfrac{1}{6}$, y $2\left(\tfrac16\right)+4\left(\tfrac16\right)-1=\tfrac13+\tfrac23-1=0$ $\checkmark$. Toma $\lambda=0$, $\mu=3$: $x=-\tfrac32$, y $-3+0+3=0$ $\checkmark$.