Resuelve la inecuación 3^x > 500001x.

Step-by-step solution

1. 1

   Conviértelo en una pregunta de signo sobre una sola función. Define

   $f(x)=3^x-500001x$

   y busca dónde $f(x)>0$. Es mejor que comparar dos gráficas a ojo, porque $f$ tiene una estructura que se puede precisar exactamente.

2. 2

   Demuestra que $f$ es convexa, así que tiene como mucho dos raíces.

   $f'(x)=3^x\ln 3-500001,\qquad f''(x)=3^x(\ln 3)^2>0$

   Una función estrictamente convexa decrece y luego crece, cortando el cero como mucho dos veces. El mínimo está donde $f'=0$:

   $3^x=\frac{500001}{\ln 3}\approx 455121\quad\Longrightarrow\quad x=\log_3(455121)\approx 11.86$

3. 3

   El lado izquierdo sale gratis. Para $x\le 0$ el primer miembro $3^x$ es positivo mientras que $500001x\le 0$, así que la desigualdad se cumple automáticamente. En $x=0$ dice $1>0$ $\checkmark$. Por tanto, la primera raíz tiene que estar un poco a la derecha de $0$.

4. 4

   Localiza la raíz pequeña. Cerca de $0$, $3^x\approx 1$, así que el corte está próximo a $x\approx\tfrac{1}{500001}$. La bisección de $f$ en $\left[10^{-12},0.5\right]$ da

   $x_1\approx 2.0000004\times 10^{-6}$

   y $f$ es positiva a su izquierda y negativa a su derecha.

5. 5

   Localiza la raíz grande acotándola. $f(12)=531441-6000012<0$ y $f(16)=43046721-8000016>0$, así que el segundo corte está en $(12,16)$. La bisección da

   $x_2\approx 14.3704368$

   Comprobación: $3^{14.3704368}\approx 7.1853\times 10^{6}$ y $500001\times 14.3704368\approx 7.1853\times 10^{6}$, coincidiendo en seis cifras $\checkmark$. (Un valor como $14.546$ no es raíz: allí $3^x\approx 8.714\times 10^6$ frente a $7.273\times 10^6$, una diferencia de unos $1.44\times 10^6$.)

6. 6

   Arma el conjunto solución. $f>0$ fuera de las dos raíces:

   $x<2.0000004\times 10^{-6}\quad\text{o}\quad x>14.3704368$

   Comprueba un punto intermedio: en $x=1$, $3<500001$, así que la desigualdad falla correctamente $\checkmark$.