Halla las soluciones de 4x = 3x² − 7x + 9, dando las respuestas con 3 cifras significativas.

Step-by-step solution

1. 1

   Reúne todo del lado en el que el término al cuadrado es positivo. Resta $4x$ a ambos lados para que la ecuación se lea $=0$ con coeficiente principal positivo:

   $0=3x^{2}-7x-4x+9\quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-11x+9=0.$

2. 2

   Comprueba si factoriza antes de echar mano de la fórmula. Harían falta dos enteros cuyo producto sea $3\cdot 9=27$ y cuya suma sea $-11$; las parejas son $(-1,-27)$ y $(-3,-9)$, que suman $-28$ y $-12$. Ninguna sirve, así que las raíces son irracionales y la fórmula general es la herramienta adecuada.

3. 3

   Identifica los coeficientes y calcula el discriminante. Con $a=3$, $b=-11$, $c=9$,

   $b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4(3)(9)=121-108=13.$

   Como $13>0$ hay dos raíces reales distintas, y como $13$ no es un cuadrado perfecto, esas raíces son irracionales, coherente con la instrucción de redondear.

4. 4

   Aplica la fórmula general.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}.$

5. 5

   Evalúa y redondea a 3 cifras significativas. Con $\sqrt{13}=3.605551\ldots$,

   $x=\frac{11+3.605551}{6}=2.434258\ldots\approx 2.43,\qquad x=\frac{11-3.605551}{6}=1.232408\ldots\approx 1.23.$

   Redondea solo en este paso final: redondear $\sqrt{13}$ antes de tiempo puede desplazar la tercera cifra significativa.

6. 6

   Verifica con las raíces exactas. Las relaciones de Vieta dan $x_1+x_2=\tfrac{11}{3}\approx 3.6667$ y $x_1x_2=\tfrac{9}{3}=3$; los valores calculados suman $3.66666$... que es $\tfrac{22}{6}$, y en efecto $2.434258+1.232408=3.666666=\tfrac{11}{3}$, lo que coincide con $-b/a$. Su producto es $2.434258\times 1.232408=3.0000$, que coincide con $c/a=3$.