Resuelve la desigualdad compuesta 1/6 < (2x − 13)/12 ≤ 2/3.

Step-by-step solution

1. 1

   Trátala como dos desigualdades unidas por la cadera. La incógnita aparece solo en el medio, así que toda operación debe aplicarse a las tres partes a la vez. Así la cadena sigue siendo equivalente sin necesidad de separarla nunca.

2. 2

   Multiplica todo por 12 para quitar todos los denominadores. $12$ es el mínimo común múltiplo de $6$, $12$ y $3$, y es positivo, así que los sentidos de la desigualdad no cambian: $12\cdot\frac16 < 12\cdot\frac{2x-13}{12} \le 12\cdot\frac23 \Longrightarrow 2 < 2x-13 \le 8.$

3. 3

   Suma 13 en cada parte. $2+13 < 2x \le 8+13 \Longrightarrow 15 < 2x \le 21.$ Sumar una constante nunca afecta al sentido de una desigualdad.

4. 4

   Divide cada parte entre 2. Como $2>0$, los signos se quedan como están: $\frac{15}{2} < x \le \frac{21}{2}, \qquad\text{es decir}\qquad 7.5 < x \le 10.5.$

5. 5

   Ten claro el tipo de cada extremo. El extremo izquierdo viene de un $<$ estricto, así que $7.5$ queda excluido; el derecho viene de un $\le$, así que $10.5$ queda incluido. En notación de intervalos eso es $\left(\tfrac{15}{2},\tfrac{21}{2}\right]$.

6. 6

   Comprueba las fronteras numéricamente. En $x=7.5$: $\tfrac{2(7.5)-13}{12} = \tfrac{2}{12} = \tfrac16$ - hay igualdad, así que está correctamente excluido. En $x=10.5$: $\tfrac{2(10.5)-13}{12} = \tfrac{8}{12} = \tfrac23$ - hay igualdad, así que está correctamente incluido. En $x=7.4$ el valor central es $0.15 < \tfrac16$, fuera; en $x=10.6$ es $0.6833 > \tfrac23$, también fuera.