Simplifica (a - b)/(a + b + 2√(ab)) por (√a + √b)/(√a - √b).

Step-by-step solution

1. 1

   Cambia mentalmente de variables a $\sqrt a$ y $\sqrt b$. Toda esta expresión está construida a partir de $u=\sqrt a$ y $v=\sqrt b$. Reescribirla como

   $\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2+2uv}\cdot\frac{u+v}{u-v}$

   convierte dos expresiones con radicales poco familiares en dos de las identidades más estándar del álgebra.

2. 2

   Factoriza el numerador como diferencia de cuadrados.

   $a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$

3. 3

   Reconoce el denominador como un cuadrado perfecto. El patrón $u^2+2uv+v^2$ da

   $a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2$

   El término cruzado $2\sqrt{ab}=2\sqrt a\sqrt b$ es exactamente el $2uv$ que completa el cuadrado: darse cuenta de esto es la clave del problema.

4. 4

   Sustituye las dos factorizaciones.

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\cdot\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}$

5. 5

   Cancela de forma sistemática. El factor $\sqrt a-\sqrt b$ aparece una vez arriba y una vez abajo; $\sqrt a+\sqrt b$ aparece dos veces arriba y dos veces abajo. Todo se cancela y queda

   $1$

   Las cancelaciones son lícitas precisamente porque $a\neq b$ (y entonces $\sqrt a-\sqrt b\neq0$) y $a,b>0$ (y entonces $\sqrt a+\sqrt b>0$).

6. 6

   Verifica con números. En $a=4,b=9$: $\tfrac{-5}{4+9+12}\cdot\tfrac{2+3}{2-3}=\tfrac{-5}{25}\cdot(-5)=1$ ✓. En $a=2.5,b=7.3$ una evaluación decimal directa también devuelve $1.000000$ ✓.