Simplificar (2x + 1)² − (2x − 1)².

Step-by-step solution

1. 1

   Elegir el camino de la factorización, no el del desarrollo. Una diferencia de dos cuadrados siempre factoriza:

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   Aquí los dos términos ya son cuadrados, así que esta identidad convierte un problema de aspecto cuadrático en dos restas cortas y una multiplicación.

2. 2

   Fijar las dos bases.

   $A = 2x+1, \qquad B = 2x-1$

   Las dos son lineales en $x$ con el mismo coeficiente principal, y eso es lo que hace que uno de los factores se reduzca a una constante.

3. 3

   Calcular A − B. Hay que distribuir el signo menos sobre todo el segundo paréntesis:

   $(2x+1) - (2x-1) = 2x + 1 - 2x + 1 = 2$

   Los términos $2x$ se cancelan; olvidar cambiar el signo del $-1$ daría $0$ en lugar de $2$ y borraría la respuesta.

4. 4

   Calcular A + B y multiplicar.

   $(2x+1) + (2x-1) = 4x$

   Así que

   $(2x+1)^2 - (2x-1)^2 = 2 \cdot 4x = 8x$

5. 5

   Contrastar con el desarrollo directo. Al desarrollar queda

   $(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1) = 8x$

   El $4x^2$ y el $+1$ se cancelan y solo sobreviven los términos cruzados, que es la razón estructural de que el resultado sea lineal. En $x = 5$ las dos formas dan $121 - 81 = 40 = 8 \cdot 5$.