Sea U el conjunto universal y A, B, C subconjuntos de U. ¿Cuál de las siguientes es correcta? (1) A − (B ∪ C) = (A − B) ∪ (A − C); (2) (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C); (3) A − (B − C) = A ∩ (B′ ∩ C′); (4) (A ∪ B) − C = A ∪ (B − C).

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte cada diferencia en una intersección con un complemento. La única regla $X-Y=X\cap Y'$ transforma las cuatro afirmaciones en álgebra pura de intersección, unión y complemento, donde las leyes de De Morgan se aplican de forma mecánica. Adivinar mirando diagramas de Venn induce a error; esta reescritura no.

2. 2

   Comprueba la afirmación 1. Miembro izquierdo: $A-(B\cup C)=A\cap(B\cup C)'=A\cap B'\cap C'$. Miembro derecho: $(A\cap B')\cup(A\cap C')=A\cap(B'\cup C')$. Son distintos: un elemento de $A$ que esté en $B$ pero no en $C$ pertenece al miembro derecho pero no al izquierdo. Falsa. (La versión correcta es $A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)$.)

3. 3

   Comprueba la afirmación 2. Miembro izquierdo: $(A\cap B)-C=(A\cap B)\cap C'=A\cap B\cap C'$. Miembro derecho: $(A\cap C')\cap(B\cap C')=A\cap B\cap C'\cap C'=A\cap B\cap C'$, usando la idempotencia $C'\cap C'=C'$. Los dos miembros son idénticos. Verdadera.

4. 4

   Comprueba la afirmación 3. Miembro izquierdo: $A-(B-C)=A\cap(B\cap C')'=A\cap(B'\cup C)$. El miembro derecho que se afirma es $A\cap B'\cap C'$. Toma $x\in A\cap B\cap C$: entonces $x$ está en el miembro izquierdo (porque $x\in C$) pero no en el derecho (porque $x\in B$ y $x\in C$). Falsa.

5. 5

   Comprueba la afirmación 4. Miembro izquierdo: $(A\cup B)\cap C'=(A\cap C')\cup(B\cap C')$. Miembro derecho: $A\cup(B\cap C')$. Cualquier $x\in A\cap C$ está en el miembro derecho pero no en el izquierdo, porque el izquierdo quita todo $C$, incluida la parte que cae dentro de $A$. Falsa.

6. 6

   Concluye.

   $\boxed{\text{Solo la afirmación 2 es correcta}}$

   Un contraejemplo concreto liquida de una vez las tres falsas: toma $U=\{1,2,3\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1\}$, $C=\{2\}$. Entonces la afirmación 1 dice $\{3\}=\{1,2,3\}$, la 3 dice $\{2,3\}=\{3\}$ y la 4 dice $\{1,3\}=\{1,2,3\}$ — todas falsas — mientras que la 2 dice $\{1\}=\{1\}$.