Resuelve la inecuación 3/(x - 1) > x + 4.

Step-by-step solution

1. 1

   No multipliques ambos miembros por $x-1$. Su signo es desconocido —positivo cuando $x>1$, negativo cuando $x<1$—, así que multiplicar invertiría la desigualdad en una mitad de la recta y no en la otra. La vía segura es pasarlo todo a un miembro y comparar una única fracción con cero:

   $\frac{3}{x-1}-(x+4)>0$

2. 2

   Combina sobre el común denominador. Desarrollando $(x+4)(x-1)=x^{2}+3x-4$:

   $\frac{3-(x^{2}+3x-4)}{x-1}=\frac{-x^{2}-3x+7}{x-1}>0$

   Multiplicar numbos miembros por $-1$ deja positivo el coeficiente principal del numerador e invierte el símbolo de la desigualdad:

   $\frac{x^{2}+3x-7}{x-1}<0$

3. 3

   Localiza todos los puntos críticos: los ceros del numerador y los del denominador. Para el numerador, la fórmula general da

   $x=\frac{-3\pm\sqrt{9+28}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{37}}{2}\approx-4.5414,\;1.5414$

   y el denominador se anula en $x=1$. Los tres puntos $\frac{-3-\sqrt{37}}{2}$, $1$, $\frac{-3+\sqrt{37}}{2}$ parten la recta en cuatro intervalos. Fíjate en que $1$ queda entre las dos raíces, así que realmente se intercala entre ellas.

4. 4

   Arma la tabla de signos. El numerador (parábola hacia arriba) es negativo estrictamente entre sus raíces; el denominador es negativo para $x<1$. Un cociente es negativo cuando exactamente una de las dos partes es negativa:

   $\begin{array}{c|c|c|c}\text{intervalo}&\text{num}&\text{den}&\text{cociente}\\\hline x<-4.5414&+&-&-\;\checkmark\\ -4.5414<x<1&-&-&+\\ 1<x<1.5414&-&+&-\;\checkmark\\ x>1.5414&+&+&+\end{array}$

5. 5

   Lee la solución y revisa el punto excluido.

   $\left(-\infty,\tfrac{-3-\sqrt{37}}{2}\right)\cup\left(1,\tfrac{-3+\sqrt{37}}{2}\right)$

   Todos los extremos son abiertos: las dos raíces dan igualdad (la desigualdad es estricta) y $x=1$ queda excluido por completo porque ahí la fracción original no está definida. Al evaluar la inecuación original en $8000$ puntos de $[-10,6]$, el resultado coincide con este conjunto en todas partes ✓. Comprobación puntual en $x=2$: $\frac{3}{1}=3$ frente a $6$, y $3>6$ es falso ✗, correctamente fuera.