Resuelve x²((8.9 − x)² − 64) = (63.9 − 71x)².

Step-by-step solution

1. 1

   Resiste la tentación de desarrollar y factoriza la diferencia de cuadrados del miembro izquierdo. Como $64=8^{2}$, $(8.9-x)^{2}-64=(8.9-x-8)(8.9-x+8)=(0.9-x)(16.9-x),$ así que el miembro izquierdo es $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)$. Multiplicarlo todo produciría una cuártica general y escondería la estructura que permite resolver este problema a mano.

2. 2

   Factoriza también el miembro derecho. Observa que $71\times 0.9=63.9$, así que $63.9-71x=71(0.9-x)\quad\Longrightarrow\quad (63.9-71x)^{2}=71^{2}(0.9-x)^{2}=5041(0.9-x)^{2}.$ Darse cuenta de que $63.9$ es $71\times 0.9$ es la observación clave de todo el problema.

3. 3

   Pasa todo a un miembro y saca $(0.9-x)$. $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)-5041(0.9-x)^{2}=0$ $(0.9-x)\left[x^{2}(16.9-x)-5041(0.9-x)\right]=0$ La cuártica se ha partido ya en un factor lineal y una cúbica, así que una ecuación de grado 4 se vuelve algo que sí se puede terminar.

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   Lee la raíz exacta. El primer factor da $0.9-x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.9,$ y al sustituir se confirma: el miembro izquierdo queda $0.81(64-64)=0$ y el derecho queda $(63.9-63.9)^{2}=0$.

5. 5

   Resuelve la cúbica que queda. Desarrollando el corchete, $16.9x^{2}-x^{3}+5041x-4536.9=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9=0,$ o bien, quitando los decimales, $10x^{3}-169x^{2}-50410x+45369=0$. No tiene raíces racionales, y numéricamente sus tres raíces reales son $x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$

6. 6

   Comprueba las raíces de la cúbica con las relaciones de Vieta. Para $x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9$ las raíces deben sumar $16.9$, tener suma de productos por pares $-5041$ y multiplicarse hasta dar $-4536.9$. Los tres números dan $-63.548577+0.897443+79.551134=16.900000$, suma por pares $-5041.000000$ y producto $-4536.899998$: las tres cosas coinciden. Fíjate en lo cerca que está $0.897443$ de la raíz exacta $0.9$: se diferencian en solo $0.0026$, así que una solución redondeada se puede confundir fácilmente con la exacta.

7. 7

   Enumera el conjunto solución completo. $x=0.9,\qquad x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$ Las cuatro son reales, lo que es coherente con una cuártica cuyo coeficiente principal es positivo del lado de la diferencia y que cambia de signo cuatro veces.