Multiplica y simplifica: (x² − 2x + 1)/(x² + 2x − 3) × (x² + 3x)/(x² + 2x).

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza todo antes de multiplicar. Desarrollar primero numeradores y denominadores produciría dos polinomios de cuarto grado que después habría que volver a factorizar. Factorizar de entrada permite que las cancelaciones ocurran mientras las piezas todavía son pequeñas.

2. 2

   Factoriza las cuatro cuadráticas.

   $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2},\qquad x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)$

   $x^{2}+3x=x(x+3),\qquad x^{2}+2x=x(x+2)$

3. 3

   Reescribe el producto en forma factorizada.

   $\frac{(x-1)^{2}}{(x+3)(x-1)}\cdot\frac{x(x+3)}{x(x+2)}$

4. 4

   Cancela entre las dos fracciones. En un producto, cualquier factor de un numerador puede cancelarse con cualquier factor de un denominador. Se cancela un $(x-1)$, se cancela $(x+3)$ y se cancela $x$:

   $\frac{x-1}{1}\cdot\frac{1}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}$

   $\boxed{\dfrac{x-1}{x+2}}$

5. 5

   Anota los valores excluidos. Las cancelaciones solo son válidas donde los factores cancelados no se anulan, así que la identidad vale para $x\neq 0$, $x\neq 1$, $x\neq -3$ y $x\neq -2$. La forma final solo muestra la restricción $x\neq -2$; las otras tres hay que arrastrarlas desde la expresión original.

6. 6

   Comprueba con un valor de prueba. En $x=4$: la primera fracción es $\tfrac{9}{21}=\tfrac37$ y la segunda es $\tfrac{28}{24}=\tfrac76$, cuyo producto es $\tfrac{3}{6}=\tfrac12$. La forma simplificada da $\tfrac{4-1}{4+2}=\tfrac36=\tfrac12$. Coinciden.