Factoriza por completo x³ + x² − 4x − 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige la agrupación y entiende por qué es la herramienta adecuada. Con exactamente cuatro términos y ningún factor común a todos ellos, agrupar en parejas es el primer intento estándar. Funciona siempre que las dos parejas dejen atrás el mismo binomio, que es justo lo que comprobamos a continuación.

2. 2

   Sepáralo en dos parejas.

   $x^3+x^2-4x-4=\left(x^3+x^2\right)+\left(-4x-4\right)$

   Mantener los signos pegados a los términos al agrupar evita el error de signo clásico en la segunda pareja.

3. 3

   Factoriza cada pareja. De la primera, saca $x^2$; de la segunda, saca $-4$ (no $+4$, para que el binomio coincida):

   $x^3+x^2=x^2(x+1),\qquad -4x-4=-4(x+1)$

   Las dos parejas dejan $(x+1)$: la agrupación ha funcionado.

4. 4

   Saca el binomio común como factor.

   $x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)\left(x^2-4\right)$

5. 5

   Termina con la diferencia de cuadrados. $x^2-4=x^2-2^2$, así que

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   y por lo tanto

   $x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2)$

   Detenerse en $(x+1)(x^2-4)$ dejaría la factorización incompleta.

6. 6

   Verifica desarrollando en muchos valores. Comparar la cúbica original con el producto en cada entero desde $-40$ hasta $39$ da coincidencia exacta ✓. Las raíces $-1,\ 2,\ -2$ también son fáciles de confirmar directamente: $(-1)^3+(-1)^2+4-4=0$, $8+4-8-4=0$, $-8+4+8-4=0$ ✓.