Resuelve la desigualdad (x − 2)(x + 1)(x − 4) < 0.

Step-by-step solution

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   Halla los puntos críticos. El producto es cero exactamente donde se anula un factor:

   $x=-1,\qquad x=2,\qquad x=4.$

   Como la desigualdad es estricta, ninguno de esos tres valores pertenece al conjunto solución: son solo fronteras. Ordenarlos de menor a mayor es imprescindible antes de dibujar la tabla.

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   Divide la recta numérica en cuatro intervalos. Las tres raíces crean

   $(-\infty,-1),\quad(-1,2),\quad(2,4),\quad(4,\infty).$

   El signo de un producto de factores lineales es constante en cada intervalo, así que basta un único punto de prueba por intervalo para decidirlo.

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   Prueba un punto en cada intervalo. Cuenta los factores negativos:

   $x=-2:\ (-4)(-1)(-6)<0;\qquad x=0:\ (-2)(1)(-4)>0;$

   $x=3:\ (1)(4)(-1)<0;\qquad x=5:\ (3)(6)(1)>0.$

   Un número impar de factores negativos hace el producto negativo y un número par lo hace positivo, y por eso los signos se alternan al cruzar cada raíz.

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   Usa el atajo de la multiplicidad como comprobación. Aquí todas las raíces son simples (multiplicidad uno), así que el signo cambia en cada una. Empezando por el extremo derecho, donde los tres factores son positivos, el patrón hacia la izquierda tiene que ser $+,-,+,-$, que coincide exactamente con los puntos de prueba ✓. Si algún factor hubiera estado elevado al cuadrado, el signo no habría cambiado ahí.

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   Reúne los intervalos donde el producto es negativo. Leyendo la tabla:

   $x\in(-\infty,-1)\cup(2,4).$

   Todos los extremos son abiertos. Si la desigualdad hubiera sido $\le0$, la respuesta sería en cambio $(-\infty,-1]\cup[2,4]$, con las tres raíces incluidas.