Simplifica (x^a)^(−b), donde a y b son constantes.

Step-by-step solution

1. 1

   Aplicar la regla de la potencia de una potencia. Para cualquier base $u$ y exponentes $m,n$:

   $\left(u^m\right)^n=u^{mn}$

   Los exponentes se multiplican; un desliz frecuente es sumarlos, que en realidad es la regla de $u^m\cdot u^n$.

2. 2

   Sustituir los exponentes dados. Con $u=x$, $m=a$, $n=-b$:

   $\left(x^a\right)^{-b}=x^{a\cdot(-b)}=x^{-ab}$

3. 3

   Convertir el exponente negativo en un recíproco. Por definición $u^{-k}=\tfrac{1}{u^k}$ para $u\neq 0$:

   $x^{-ab}=\frac{1}{x^{ab}}$

   Las dos formas son correctas; la de fracción suele preferirse cuando 'simplificar' significa 'sin exponentes negativos'.

4. 4

   Enunciar la restricción del dominio. La manipulación necesita $x\neq 0$, y para exponentes reales arbitrarios la convención estándar es $x>0$, de modo que $x^a$ esté definido. Bajo esas condiciones la identidad se cumple con exactitud.

5. 5

   Comprobar con números. Tomando $x=2$, $a=3$, $b=2$: la expresión original es $\left(2^3\right)^{-2}=8^{-2}=\tfrac{1}{64}$, y $x^{-ab}=2^{-6}=\tfrac{1}{64}$ $\checkmark$. Una prueba con valores no enteros: $x=2.3$, $a=1.7$, $b=0.8$ da $\left(2.3^{1.7}\right)^{-0.8}\approx 0.322144$ y $2.3^{-1.36}\approx 0.322144$ $\checkmark$.