Dadas A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]] y B = la matriz 3x2 formada solo por unos, calcula AB y decide después si AᵀBᵀ está definido.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba las dimensiones antes de multiplicar. $A$ es $3\times 3$ y $B$ es $3\times 2$. Las dimensiones interiores coinciden ($3=3$), así que $AB$ existe y tiene las dimensiones exteriores, $3\times 2$.

2. 2

   Aprovecha la estructura de B. Cada columna de $B$ es $(1,1,1)^{t}$, de modo que cada entrada de $AB$ no es más que la suma de una fila de $A$, y las dos columnas de $AB$ resultarán idénticas.

3. 3

   Calcula las tres sumas de filas.

   $9+1+1=11,\qquad 1+2+1=4,\qquad 1+18+1=20$

   Por lo tanto

   $AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix}$

4. 4

   (b) Comprueba las dimensiones de AᵗBᵗ. Transponer intercambia las dimensiones: $A^{t}$ es $3\times 3$ y $B^{t}$ es $2\times 3$. El producto $A^{t}B^{t}$ necesitaría que las dimensiones interiores coincidieran, es decir $3$ (columnas de $A^t$) $=2$ (filas de $B^t$) — y no coinciden. Así que

   $A^{t}B^{t}\ \textbf{no está definido.}$

5. 5

   Enuncia la identidad que sí se cumple. Transponer un producto invierte el orden:

   $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$

   Aquí $B^{t}$ es $2\times 3$ y $A^{t}$ es $3\times 3$, de modo que $B^{t}A^{t}$ es $2\times 3$ — exactamente la forma de $(AB)^{t}$.

6. 6

   Verifica la identidad numéricamente.

   $B^{t}A^{t}=\begin{pmatrix}11&4&20\\11&4&20\end{pmatrix}=(AB)^{t}$

   que es en efecto la transpuesta del $AB$ hallado en el apartado (a). Esto confirma tanto la aritmética como la regla de inversión del orden.

   $\boxed{AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix};\quad A^{t}B^{t}\text{ no está definido};\quad (AB)^{t}=B^{t}A^{t}}$