Resuelve la cúbica 1.5708x^3 − 0.01446x^2 + 1.35803e−5 x + 1.0159097e−12 = 0.

Step-by-step solution

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   Lee la escala en los coeficientes antes de tocar cualquier solucionador. Los coeficientes caen unas dos décadas por grado ($1.57$, $1.4\times10^{-2}$, $1.4\times10^{-5}$), que es la huella de raíces cercanas a $10^{-2}$ y $10^{-3}$. El término constante es siete décadas más pequeño todavía, así que una raíz tiene que ser muchísimo más diminuta que las otras dos.

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   Reescala a una cúbica bien condicionada. Sustituir $x=t/1000$ multiplica el coeficiente de $t^k$ por $1000^{3-k}$:

   $1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+1.0159097\times10^{-3}=0$

   Ahora todos los coeficientes caben en un par de órdenes de magnitud, así que un buscador de raíces pierde mucha menos precisión por cancelación.

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   Localiza las dos raíces grandes por cambios de signo. Con $g(t)=1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+0.0010159097$: $g(1)=0.6921>0$, $g(1.5)=-6.8621<0$, $g(8)=-12.5470<0$, $g(9)=96.0769>0$. Así que hay raíces en $(1,1.5)$ y en $(8,9)$; bisecar hasta la precisión de máquina da $t=1.06167$ y $t=8.14390$.

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   Obtén la raíz diminuta a partir del término constante. Cerca de $t=0$ los términos cúbico y cuadrático son despreciables, así que de $13.5803t+0.0010159097\approx0$ sale $t\approx-7.4808\times10^{-5}$, refinada por Newton hasta $t=-7.480165\times10^{-5}$. Al dividir las tres entre $1000$:

   $x=-7.480165\times10^{-8},\quad 0.00106167,\quad 0.00814390$

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   Comprueba con las fórmulas de Vieta, calculadas y no supuestas. La suma de las raíces debe ser $0.01446/1.5708=0.0092055004$; las tres raíces suman $0.0092055004$ ✓. El producto debe ser $-1.0159097\times10^{-12}/1.5708=-6.467467\times10^{-13}$; las raíces multiplican a $-6.467467\times10^{-13}$ ✓. Una respuesta muy difundida de $0.00100455$ y $0.00820134$ no pasa esta prueba: esos valores dejan residuos del orden de $10^{-8}$ en lugar de $10^{-13}$.