Resuelve la inecuación 5a² + 4a − 12 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla las raíces de la ecuación asociada. Resuelve $5a^2+4a-12=0$ con la fórmula general; los coeficientes en $a$ son $5$, $4$, $-12$:

   $\Delta=4^2-4(5)(-12)=16+240=256$

2. 2

   Aprovecha que es un cuadrado perfecto. $\sqrt{256}=16$, así que las raíces son racionales:

   $a=\frac{-4\pm 16}{10}\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\ \text{o}\ a=\frac{-20}{10}=-2$

   De forma equivalente, $5a^2+4a-12=(5a-6)(a+2)$.

3. 3

   Usa el sentido de apertura de la parábola. El coeficiente principal $5$ es positivo, así que la parábola abre hacia arriba y la expresión es positiva fuera de las raíces y negativa entre ellas.

4. 4

   Ordena las raíces y escribe la respuesta. Como $-2<\tfrac65$:

   $a<-2\quad\text{o}\quad a>\frac{6}{5},\qquad\text{es decir, }(-\infty,-2)\cup\left(\tfrac65,\infty\right)$

5. 5

   Comprueba un valor por cada intervalo. En $a=-3$: $45-12-12=21>0$ $\checkmark$. En $a=0$: $-12>0$ es falso $\checkmark$. En $a=2$: $20+8-12=16>0$ $\checkmark$. En $a=\tfrac65$: $5\cdot\tfrac{36}{25}+\tfrac{24}{5}-12=\tfrac{36}{5}+\tfrac{24}{5}-12=0$, correctamente excluido por la desigualdad estricta.