Halla todas las soluciones reales de 6^x = x^18.

Step-by-step solution

1. 1

   Aclara primero el dominio. Para $x>0$ los dos miembros son positivos. Para $x<0$ el miembro derecho $x^{18}$ sigue siendo positivo porque el exponente es par, y $6^x>0$ también, así que los valores negativos de $x$ están permitidos. En $x=0$ quedaría $1=0$, que es falso, así que $x=0$ se excluye.

2. 2

   Reduce el caso positivo a una única función que crece y luego decrece. Tomando logaritmos en $6^x=x^{18}$ para $x>0$:

   $x\ln 6=18\ln x\quad\Longrightarrow\quad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 6}{18}\approx 0.0995422$

   La función $g(x)=\tfrac{\ln x}{x}$ tiene $g'(x)=\tfrac{1-\ln x}{x^2}$, así que crece en $(0,e]$ y decrece en $[e,\infty)$, con máximo $g(e)=\tfrac1e\approx 0.3679$. Como $0<0.0995<\tfrac1e$, la recta horizontal la corta exactamente dos veces.

3. 3

   Detecta la raíz exacta grande. Prueba con $x=36$: como $36=6^2$,

   $36^{18}=\left(6^2\right)^{18}=6^{36}$

   así que $x=36$ satisface la ecuación de forma exacta. Confirmándolo con $g$: $\tfrac{\ln 36}{36}=\tfrac{3.583519}{36}=0.0995422$ $\checkmark$.

4. 4

   Halla numéricamente la raíz positiva pequeña. Tiene que estar en $(1,e)$, ya que $g(1)=0$ y $g$ crece hasta $g(e)$. La bisección sobre $g(x)-0.0995422$ da

   $x\approx 1.1176815$

   Comprobación: $6^{1.1176815}\approx 7.4084$ y $1.1176815^{18}\approx 7.4084$ $\checkmark$.

5. 5

   Demuestra que hay exactamente una raíz negativa. Haz $x=-t$ con $t>0$; la ecuación se convierte en $6^{-t}=t^{18}$, es decir, $h(t)=6^{t}t^{18}=1$. Como

   $\frac{d}{dt}\ln h(t)=\ln 6+\frac{18}{t}>0$

   $h$ es estrictamente creciente de $0$ a $\infty$, así que $h(t)=1$ tiene exactamente una solución. La bisección da $t\approx 0.9131150$, es decir, $x\approx-0.9131150$; ahí $6^{x}\approx 0.194741$ y $x^{18}\approx 0.194741$ $\checkmark$.

6. 6

   Reúne las tres raíces. Una negativa, dos positivas y ninguna más, por los argumentos de monotonía anteriores:

   $x\approx-0.91311,\qquad x\approx 1.11768,\qquad x=36$