Dos ciudades distan 120 km. Un automóvil va de la primera ciudad a la segunda y regresa, y tarda 4 horas 24 minutos en total. La velocidad de regreso es un 20% mayor que la velocidad de ida. Hallar la velocidad de ida.

Step-by-step solution

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   Convertir el tiempo mixto a una sola unidad. Las velocidades están en km/h, así que el tiempo debe expresarse en horas:

   $4\text{ h }24\text{ min}=4+\frac{24}{60}=4.4\text{ h}=\frac{22}{5}\text{ h}$

   Dejar los $24$ minutos como minutos es la forma más habitual de arruinar este problema.

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   Nombrar la incógnita y expresar la segunda velocidad en función de ella. Sea $v$ la velocidad de ida en km/h, con $v>0$. Un aumento del $20\%$ multiplica por $1.2$, así que la velocidad de regreso es

   $1.2v=\frac{6v}{5}\ \text{km/h}$

   Elegir la velocidad menor como incógnita mantiene simples las fracciones.

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   Escribir el tiempo de cada trayecto como distancia dividida entre velocidad. Los dos trayectos cubren $120$ km:

   $t_{\text{ida}}=\frac{120}{v},\qquad t_{\text{vuelta}}=\frac{120}{1.2v}$

   Lo que se suma son los tiempos, no las velocidades: la velocidad media de un viaje de ida y vuelta no es el promedio de las dos velocidades, así que nunca se promedian $v$ y $1.2v$.

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   Simplificar la segunda fracción antes de combinar. Dividir $120$ entre $1.2$ es exacto:

   $\frac{120}{1.2v}=\frac{100}{v}$

   de modo que la ecuación del tiempo total queda

   $\frac{120}{v}+\frac{100}{v}=4.4\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{220}{v}=4.4$

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   Resolver e interpretar. Multiplicando ambos lados por $v$ y dividiendo entre $4.4$:

   $v=\frac{220}{4.4}=50$

   $\boxed{v=50\ \text{km/h}}$

   La velocidad de regreso es $1.2\times 50=60$ km/h.

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   Contrastar con el enunciado original. Ida: $120/50=2.4$ h. Vuelta: $120/60=2$ h. Total $2.4+2=4.4$ h $=4$ h $24$ min, y $60$ es efectivamente un $20\%$ más que $50$. Nótese que la velocidad media del viaje completo es $240/4.4\approx 54.5$ km/h, no $55$: otro recordatorio de que las velocidades no se promedian.