Resuelve la inecuación (x² - 4x + 3)/(x² - 9) ≤ 0.

Step-by-step solution

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   Factoriza el numerador y el denominador.

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   así que la inecuación es

   $\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}\le0$

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   Anota el dominio antes de cancelar nada. El denominador se anula en $x=3$ y en $x=-3$, así que ambos quedan excluidos desde el principio:

   $x\neq3,\qquad x\neq-3$

   Hay que escribirlo primero, porque el paso siguiente vuelve invisible a $x=3$.

3. 3

   Cancela el factor común sin perder la exclusión. Para $x\neq3$ el $(x-3)$ compartido se simplifica:

   $\frac{x-1}{x+3}\le0\qquad(x\neq3,\ x\neq-3)$

   La cancelación crea un hueco evitable en $x=3$, no un cambio de signo: la función original simplemente no tiene valor ahí, mientras que la simplificada sí. Olvidarlo es la trampa clásica.

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   Halla los puntos críticos de la fracción reducida y prueba los intervalos. Son $x=1$ (cero del numerador) y $x=-3$ (cero del denominador). En $x=-4$: $\tfrac{-5}{-1}=5>0$. En $x=0$: $\tfrac{-1}{3}<0$. En $x=2$: $\tfrac{1}{5}>0$. Así que solo $(-3,1)$ es negativo.

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   Decide los extremos. En $x=1$ la fracción vale $0$, y $\le0$ incluye el cero, así que $x=1$ entra. En $x=-3$ la expresión no está definida, así que queda fuera. Y $x=3$, aunque de todos modos cae fuera de $(-3,1]$, sigue excluido por el dominio; conviene decirlo para que el razonamiento quede completo.

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   Escribe la respuesta y verifícala.

   $x\in(-3,1]$

   Al evaluar la fracción original sin simplificar, con fracciones exactas, en $4001$ puntos racionales de $[-10,10]$ (saltando $x=\pm3$), la inecuación se cumple exactamente en los puntos de $(-3,1]$ ✓.