Resolver la desigualdad 2x - 5/4 < 3 - x/3.

Step-by-step solution

1. 1

   Eliminar las fracciones con el mínimo común múltiplo. Los denominadores son $4$ y $3$, así que su m.c.m. es $12$. Multiplicar una desigualdad por un número positivo conserva el sentido, de modo que es seguro:

   $12\left(2x-\frac54\right)<12\left(3-\frac{x}{3}\right)$

2. 2

   Distribuir en ambos lados. Hay que multiplicar todos los términos, incluidos los que no llevan fracción:

   $24x-15<36-4x$

   Conviene revisar uno por uno: $12\cdot2x=24x$, $12\cdot\tfrac54=15$, $12\cdot3=36$, $12\cdot\tfrac{x}{3}=4x$ ✓.

3. 3

   Reunir los términos en x a la izquierda. Se suma $4x$ a ambos lados — sumar en lugar de restar mantiene el coeficiente positivo y evita una inversión de signo más adelante:

   $28x-15<36$

4. 4

   Reunir las constantes a la derecha. Se suma $15$:

   $28x<51$

5. 5

   Dividir entre 28. Como $28>0$, el sentido no cambia:

   $x<\frac{51}{28}$

   La fracción no se simplifica: $51=3\times17$ y $28=2^2\times7$ no comparten ningún factor. En decimal, $\tfrac{51}{28}\approx1.8214$.

6. 6

   Verificar el extremo y un punto a cada lado. En $x=\tfrac{51}{28}$ los dos lados son exactamente iguales ✓. En $x=0$ (dentro): $-\tfrac54=-1.25<3$ ✓. En $x=2$ (fuera): $4-1.25=2.75$ frente a $3-\tfrac23=2.333$, y $2.75<2.333$ es falso ✓. Un barrido de $1000$ puntos racionales exactos confirma que el conjunto solución es precisamente $\left(-\infty,\tfrac{51}{28}\right)$ ✓.