Resolver (x − 2x/(x + 2))² + 4x²/(x + 2) = 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplificar primero el paréntesis: ahí está todo el truco. Poniendo los dos términos sobre el común denominador $x+2$:

   $x-\frac{2x}{x+2}=\frac{x(x+2)-2x}{x+2}=\frac{x^{2}+2x-2x}{x+2}=\frac{x^{2}}{x+2}$

   Así que el aparatoso paréntesis no es más que $\dfrac{x^{2}}{x+2}$.

2. 2

   Introducir la sustitución. Sea

   $y=\frac{x^{2}}{x+2}$

   Entonces el segundo término es $\dfrac{4x^{2}}{x+2}=4y$, y la ecuación se convierte en una cuadrática corriente:

   $y^{2}+4y=5\quad\Longrightarrow\quad y^{2}+4y-5=0$

3. 3

   Resolver en y.

   $(y+5)(y-1)=0\quad\Longrightarrow\quad y=1\ \text{o}\ y=-5$

4. 4

   Deshacer la sustitución para y = 1.

   $\frac{x^{2}}{x+2}=1\ \Longrightarrow\ x^{2}=x+2\ \Longrightarrow\ x^{2}-x-2=0\ \Longrightarrow\ (x-2)(x+1)=0$

   de donde $x=2$ o $x=-1$ (ambas admisibles, porque ninguna vale $-2$).

5. 5

   Comprobar si y = −5 aporta soluciones reales.

   $\frac{x^{2}}{x+2}=-5\ \Longrightarrow\ x^{2}=-5x-10\ \Longrightarrow\ x^{2}+5x+10=0$

   Su discriminante vale $25-40=-15<0$, así que esta rama no aporta ninguna raíz real. Descartarla sin comprobarlo sería el único punto donde la respuesta podría torcerse.

   $\boxed{x=2\ \text{o}\ x=-1}$

6. 6

   Verificar en la ecuación original. En $x=2$: el paréntesis vale $2-\tfrac{4}{4}=1$ y el segundo término, $\tfrac{16}{4}=4$, así que $1+4=5$ ✓. En $x=-1$: el paréntesis vale $-1-\tfrac{-2}{1}=1$ y el segundo término, $\tfrac{4}{1}=4$, así que $1+4=5$ ✓.