Resuelva la inecuación 2 < |x + 1| ≤ 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Separe la desigualdad doble en dos condiciones. Una desigualdad doble sobre un valor absoluto es en realidad una intersección:

   $|x+1|>2\qquad\textbf{y}\qquad |x+1|\le3$

   Estas se comportan de manera opuesta —"mayor que" abre hacia afuera y "menor que" cierra hacia adentro—, así que hay que resolverlas por separado y después intersecarlas.

2. 2

   Resuelva la parte de "mayor que". $|A|>c$ (con $c>0$) significa $A>c$ o $A<-c$:

   $x+1>2\ \text{o}\ x+1<-2\qquad\Longrightarrow\qquad x>1\ \text{o}\ x<-3$

   Es una unión de dos semirrectas: los puntos lejos de $-1$.

3. 3

   Resuelva la parte de "a lo sumo". $|A|\le c$ significa $-c\le A\le c$:

   $-3\le x+1\le3\qquad\Longrightarrow\qquad -4\le x\le2$

   Es una sola franja: los puntos cerca de $-1$.

4. 4

   Interseque los dos resultados, pieza por pieza. Cruce cada semirrecta con la franja:

   • $x>1$ con $-4\le x\le2$ da $1<x\le2$
   • $x<-3$ con $-4\le x\le2$ da $-4\le x<-3$
5. 5

   Lea la respuesta como una condición de distancia. $|x+1|$ es la distancia de $x$ a $-1$, así que la desigualdad pide los puntos que están a más de $2$ pero a lo sumo $3$ de distancia: un anillo sobre la recta numérica. Cada lado aporta un intervalo de longitud $1$:

   $[-4,-3)\cup(1,2]$

   Fíjese en el patrón de corchetes: cerrado en los extremos exteriores (por el $\le3$) y abierto en los interiores (por el $>2$ estricto).

6. 6

   Verifique barriendo valores. Probando $12{,}001$ valores racionales exactos de $x$ en $[-6,6]$, la desigualdad $2<|x+1|\le3$ se cumple exactamente en los puntos de $[-4,-3)\cup(1,2]$ y en ningún otro ✓. Comprobación de extremos: en $x=-4$, $|x+1|=3$ ✓ incluido; en $x=-3$, $|x+1|=2$ ✗ excluido.