Resuelve 2x² − x − 6 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Usa el método ac porque el coeficiente principal no es 1. Con $a=2$, $b=-1$, $c=-6$, buscas dos números cuyo producto sea $ac=2\times(-6)=-12$ y cuya suma sea $b=-1$. Adivinar parejas de factores solo de $c$ fracasaría aquí.

2. 2

   Encuentra la pareja. Las parejas de factores de $-12$ son $(1,-12),(2,-6),(3,-4),(4,-3),(6,-2),(12,-1)$; la que suma $-1$ es $3$ y $-4$, ya que $3+(-4)=-1$ y $3\times(-4)=-12$.

3. 3

   Separa el término central y agrupa.

   $2x^2+3x-4x-6=0$

   $x(2x+3)-2(2x+3)=0$

   $(2x+3)(x-2)=0$

   Que el paréntesis común $(2x+3)$ aparezca en los dos grupos confirma que la separación se hizo bien.

4. 4

   Aplica la propiedad del producto nulo.

   $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac32,\qquad x-2=0\Rightarrow x=2$

   $\boxed{x=2\ \text{o}\ x=-\tfrac{3}{2}}$

5. 5

   Comprueba las dos raíces. En $x=2$: $2(4)-2-6=8-8=0$. En $x=-\tfrac32$: $2\left(\tfrac94\right)+\tfrac32-6=\tfrac92+\tfrac32-6=6-6=0$. Las dos satisfacen la ecuación.

6. 6

   Confirma con las fórmulas de Cardano-Vieta. Las raíces deben sumar $-b/a=\tfrac12$ y multiplicarse hasta $c/a=-3$. En efecto, $2+(-\tfrac32)=\tfrac12$ y $2\times(-\tfrac32)=-3$, así que ninguna raíz quedó con el signo cambiado.