El sistema x > m + 2 y −2x − 1 ≥ 4m + 1 no tiene solución, y la ecuación x + m − 2 = 2 − x tiene una solución entera no negativa. Halla la suma de todos los enteros m que cumplen ambas condiciones.

Step-by-step solution

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   Reescribe la segunda inecuación despejando la x. De $-2x-1\ge 4m+1$ se obtiene $-2x\ge 4m+2$. Al dividir entre el número negativo $-2$ se invierte el sentido: $x\le -2m-1$.

2. 2

   Traduce «no tiene solución» a una condición sobre m. El sistema pide $x>m+2$ y $x\le -2m-1$ al mismo tiempo. Un $x$ así no existe exactamente cuando la cota superior no queda estrictamente por encima de la inferior, es decir $-2m-1\le m+2$. De ahí $-3\le 3m$, luego $m\ge -1$.

3. 3

   Resuelve la ecuación lineal. $x+m-2=2-x$ da $2x=4-m$, luego $x=\frac{4-m}{2}$.

4. 4

   Impón que esa raíz sea un entero no negativo. La no negatividad exige $\frac{4-m}{2}\ge 0$, es decir $m\le 4$. Que sea entero exige que $4-m$ sea par, de modo que $m$ debe ser par.

5. 5

   Interseca las tres condiciones. Al combinar $m\ge -1$, $m\le 4$ y la paridad de $m$ sobre los enteros queda $m\in\{0,2,4\}$.

6. 6

   Comprueba cada superviviente. $m=0$: el sistema pide $x>2$ y $x\le -1$ (vacío), y la raíz es $x=2$. $m=2$: $x>4$ y $x\le -5$ (vacío), raíz $x=1$. $m=4$: $x>6$ y $x\le -9$ (vacío), raíz $x=0$. Los tres cumplen, y $0+2+4=6$.