Dada (x² + y² + z²)² = 8z, ¿se puede escribir z como una única función f(x, y)? Describe la superficie.

Step-by-step solution

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   Observa la restricción de signo inmediata. El miembro izquierdo es un cuadrado, luego es no negativo, así que $8z\ge 0$ y por lo tanto $z\ge 0$. Toda la superficie está en el semiespacio superior.

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   Prueba en el origen para zanjar la pregunta. Haciendo $x=y=0$ queda

   $\left(z^{2}\right)^{2}=8z\ \Longrightarrow\ z^{4}-8z=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z=0\ \text{o}\ z=2$

   Dos valores de $z$ corresponden a la única entrada $(0,0)$, así que ninguna función univaluada $f$ puede describir toda la superficie: falla la prueba de la recta vertical.

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   Despeja mejor la distancia radial. Tomando la raíz cuadrada no negativa en ambos miembros (legítimo porque el miembro izquierdo es un cuadrado y $z\ge 0$):

   $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\sqrt{8z}\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}=\sqrt{8z}-z^{2}$

   Esto describe la superficie con limpieza, como una circunferencia de radio calculable a cada altura $z$.

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   Halla el rango de alturas. El miembro izquierdo $x^{2}+y^{2}$ no puede ser negativo, así que hace falta

   $\sqrt{8z}\ge z^{2}\ \Longrightarrow\ 8z\ge z^{4}\ \Longrightarrow\ z\left(8-z^{3}\right)\ge 0\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 2$

   de modo que la superficie es acotada y queda entre los planos $z=0$ y $z=2$.

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   Describe la forma. A cada altura $z\in[0,2]$ la sección transversal es una circunferencia de radio $\sqrt{\sqrt{8z}-z^{2}}$. Ese radio vale $0$ tanto en $z=0$ como en $z=2$ y es positivo en medio (alcanza su máximo en $z=2^{-1/3}\approx 0.7937$, donde el radio llega a $\approx 1.3747$), así que la superficie es un cuerpo de revolución cerrado con forma de manzana alrededor del eje $z$, estrechado hasta puntos arriba y abajo.

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   Enuncia la conclusión. No existe ninguna función única $z=f(x,y)$; la superficie tiene que darse de forma implícita, o partirse en una rama superior y una inferior sobre el disco $x^{2}+y^{2}\le\max\left(\sqrt{8z}-z^{2}\right)$. Dar aquí una única $f$ en forma cerrada descartaría en silencio la mitad de la superficie.