Resolver 1/(s + 2) + 1/(s + 4) + 1/(s + 9) − 1/(s + 6) = 0 para s.

Step-by-step solution

1. 1

   Anota primero los valores excluidos. Los cuatro denominadores se anulan en

   $s=-2,\ -4,\ -6,\ -9$

   Ninguno de ellos puede ser solución, produzca lo que produzca el álgebra. Anotarlos de entrada hace que cualquier raíz espuria que aparezca después se detecte de inmediato.

2. 2

   Quita los denominadores multiplicando toda la ecuación. Al multiplicar cada término por $(s+2)(s+4)(s+6)(s+9)$ la ecuación se vuelve polinómica. Al reunir las cuatro cúbicas resultantes se obtiene

   $2s^{3}+33s^{2}+180s+300=0$

   Los términos de cuarto grado se cancelan porque se suman tres fracciones y se resta una, lo que baja el grado de 4 a 3.

3. 3

   Ensaya las raíces racionales — y descarta las tentadoras. Por el teorema de la raíz racional los candidatos son $\pm\frac{p}{q}$ con $p\mid 300$ y $q\mid 2$. Comprobando las más plausibles: $s=-5$ da $2(-125)+33(25)-900+300=-25\neq 0$, $s=-4$ da $-128+528-720+300=-20\neq 0$, y $s=-\tfrac{15}{2}$ da $-\tfrac{3375}{4}+\tfrac{7425}{4}-1350+300\neq 0$. No existe ninguna raíz racional, así que la cúbica no se factoriza sobre los racionales.

4. 4

   Desarrolla siempre la factorización que propongas. Una conjetura como $(s+5)(2s+15)(s+4)$ se desarrolla en $2s^{3}+33s^{2}+175s+300$: coincide en el coeficiente principal, en el cuadrático y en el término independiente, pero el lineal es $175$, no $180$. Comprobar ese único coeficiente es lo que deja al descubierto el error.

5. 5

   Localiza la raíz real numéricamente. Como $f(-3)=3>0$ y $f(-3.1)=-0.452<0$, hay una raíz entre ambos valores; la iteración de Newton converge a

   $s\approx-3.0864085$

   No coincide con ninguno de los valores excluidos, así que es una solución genuina.

6. 6

   Da cuenta de las otras dos raíces y verifica. Las raíces restantes forman el par complejo $s\approx-6.7068\pm 1.9024i$, de modo que hay exactamente una solución real. Sustituyendo $s=-3.0864085$: $\tfrac{1}{-1.0864}+\tfrac{1}{0.9136}+\tfrac{1}{5.9136}-\tfrac{1}{2.9136}=-0.9205+1.0946+0.1691-0.3432=0.0000$ ✓.