Resolver el sistema: (1/3)x − (1/3)y = −1; −(1/3)x + y − (1/2)z = −w; (5/6)z − (1/2)y = w; x = 30 + z.

Step-by-step solution

1. 1

   Eliminar primero los denominadores en la ecuación más simple. Multiplicar $\tfrac13x-\tfrac13y=-1$ por $3$ da

   $x-y=-3\;\Longrightarrow\;x=y-3.$

   Empezar por la ecuación con menos incógnitas mantiene cortas las sustituciones.

2. 2

   Enlazar las dos expresiones de $x$. La cuarta ecuación dice $x=30+z$, así que

   $30+z=y-3\;\Longrightarrow\;y=33+z.$

   Ahora toda incógnita se puede expresar en función de $z$, salvo $w$.

3. 3

   Eliminar $w$ igualando la segunda y la tercera ecuación. Multiplicar la segunda por $-1$ da $\tfrac13x-y+\tfrac12z=w$, y la tercera da $\tfrac56z-\tfrac12y=w$. Igualándolas y sustituyendo $x=30+z$:

   $10+\frac13z-y+\frac12z=\frac56z-\frac12y.$

   Como $\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56$, los términos en $z$ son idénticos a ambos lados y se cancelan por completo: ese es el paso que vuelve resoluble el sistema en un solo renglón.

4. 4

   Despejar $y$ en la ecuación que sobrevive.

   $10-y=-\frac12y\;\Longrightarrow\;20-2y=-y\;\Longrightarrow\;y=20.$

   Entonces, de $y=33+z$: $z=20-33=-13$, y de $x=30+z$: $x=17$.

5. 5

   Recuperar $w$ y verificar las cuatro ecuaciones. De la tercera ecuación,

   $w=\frac56(-13)-\frac12(20)=-\frac{65}{6}-10=-\frac{125}{6}.$

   Comprobando con fracciones exactas: $\tfrac13(17)-\tfrac13(20)=-1$ ✓; $-\tfrac13(17)+20-\tfrac12(-13)=\tfrac{125}{6}=-w$ ✓; $\tfrac56(-13)-\tfrac12(20)=-\tfrac{125}{6}=w$ ✓; $30+(-13)=17=x$ ✓.