La función f(x) = |x| + 10 se traslada 8 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo. Escribe la nueva función.

Step-by-step solution

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   Separa los dos tipos de desplazamiento. Las traslaciones horizontales y las verticales obedecen reglas distintas, y confundirlas es el error habitual:

   $\text{desplazar } h \text{ a la derecha: } x\mapsto x-h\ \text{(dentro)},\qquad \text{desplazar } k \text{ hacia arriba: } +k\ \text{(fuera)}$

   Dentro de la función el signo es opuesto al sentido del movimiento; fuera, coincide.

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   Aplica el desplazamiento horizontal. Mover $8$ unidades a la izquierda significa $h=-8$, así que $x$ se sustituye por $x-(-8)=x+8$:

   $|x|+10\ \longrightarrow\ |x+8|+10$

   Que el $+8$ de dentro mueva la gráfica hacia la izquierda es justo la parte contraintuitiva: el vértice estaba en $x=0$ y ahora está en $x=-8$.

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   Aplica el desplazamiento vertical. Bajar $2$ unidades significa restar $2$ a toda la salida:

   $|x+8|+10-2=|x+8|+8$

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   Sigue el vértice para confirmarlo. El vértice original está en $(0,10)$. Desplazarlo $8$ a la izquierda y $2$ hacia abajo debería llevarlo a $(-8,8)$. Con la nueva fórmula, $|x+8|$ es mínimo cuando $x=-8$, donde el valor es $0+8=8$: vértice $(-8,8)$ ✓.

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   Comprueba un segundo punto. En la original, $f(0)=10$. Ese punto $(0,10)$ debería moverse a $(-8,8)$, cosa ya confirmada; y el punto original $(8,18)$ debería moverse a $(0,16)$. La nueva función da $|0+8|+8=16$ ✓.