Describe y grafica la región solución de 3|x| + 4|y| ≤ 12.

Step-by-step solution

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   Aprovechar primero la doble simetría. Cambiar $x$ por $-x$, o $y$ por $-y$, deja $3|x|+4|y|$ sin alterar, así que la región es simétrica respecto de ambos ejes. Por lo tanto basta con entender el primer cuadrante y reflejarlo dos veces.

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   Hallar los cortes con el eje $x$. Se toma $y=0$:

   $3|x|\le 12\;\Longrightarrow\;|x|\le 4\;\Longrightarrow\;-4\le x\le 4$

   de modo que la frontera corta al eje $x$ en $(\pm 4,0)$.

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   Hallar los cortes con el eje $y$. Se toma $x=0$:

   $4|y|\le 12\;\Longrightarrow\;|y|\le 3\;\Longrightarrow\;-3\le y\le 3$

   lo que da $(0,\pm 3)$.

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   Reconocer la frontera como cuatro segmentos de recta. En el primer cuadrante la igualdad $3x+4y=12$ es una recta, y la simetría la copia en los otros tres cuadrantes. Cuatro lados rectos que unen $(4,0)$, $(0,3)$, $(-4,0)$ y $(0,-3)$ forman un rombo (una figura de diamante) centrado en el origen: los valores absolutos son lo que sustituye una elipse suave por lados rectos.

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   Decidir qué lado sombrear. Se prueba el origen: $3|0|+4|0|=0\le 12$ $\checkmark$, así que el origen pertenece a la región, que es el interior del rombo. La desigualdad no es estricta, de modo que los cuatro lados se dibujan con trazo continuo y forman parte de la solución.

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   Comprobar un punto de la frontera y uno exterior. $(2,\tfrac32)$: $6+6=12\le 12$ $\checkmark$, está sobre el lado. $(4,1)$: $12+4=16\not\le 12$ $\checkmark$, queda fuera, como corresponde.