Factorizar por completo x² − 2ax + x + a² − a − 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Agrupar los términos por potencias de $x$.

   $x^2+(1-2a)x+\left(a^2-a-2\right)$

   Es una cuadrática en $x$ cuyos coeficientes dependen de $a$, así que cualquier factorización debe ser un producto de dos paréntesis lineales en $x$.

2. 2

   Detectar el cuadrado completo que está escondido dentro. Las piezas $x^2$, $-2ax$ y $a^2$ son exactamente $(x-a)^2$. Al separarlas queda

   $x^2-2ax+a^2+x-a-2=(x-a)^2+(x-a)-2$

   porque el sobrante $+x-a$ es él mismo $(x-a)$. Ahora cada aparición de $x$ y de $a$ está dentro de la única combinación $x-a$.

3. 3

   Sustituir $u=x-a$ y factorizar la cuadrática simple.

   $u^2+u-2=(u-1)(u+2)$

   ya que $(-1)(2)=-2$ y $-1+2=1$. Con la sustitución el parámetro desapareció por completo.

4. 4

   Deshacer la sustitución $u=x-a$.

   $(x-a-1)(x-a+2)$

5. 5

   Contrastar de dos maneras. Por la vía de los coeficientes: $a^2-a-2=(a-2)(a+1)$, y las dos constantes de los paréntesis, $-(a+1)$ y $2-a$, suman $1-2a$ ✓, que coincide con el coeficiente lineal. Numéricamente en $x=1$, $a=2$: la expresión original vale $1-4+1+4-2-2=-2$, y $(1-2-1)(1-2+2)=(-2)(1)=-2$ ✓.