Tres especias tienen niveles de picante desconocidos. Al promediar dos de ellas y sumar la tercera se obtienen 35, 27 y 25 en las tres combinaciones posibles. Halla el mayor de los tres niveles.

Step-by-step solution

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   Quita las mitades antes que nada. Multiplicar cada ecuación por $2$ convierte el sistema en uno de coeficientes enteros, y eso hace visible la simetría:

   $x+y+2z=70,\qquad x+2y+z=54,\qquad 2x+y+z=50.$

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   Aprovecha la simetría: suma las tres ecuaciones. Cada variable aparece una vez con coeficiente $2$ y dos veces con coeficiente $1$, así que cada variable acumula un coeficiente total de $4$:

   $4x+4y+4z=70+54+50=174\quad\Longrightarrow\quad x+y+z=\frac{174}{4}=43.5.$

   Este único número es la clave: convierte cada una de las tres ecuaciones en una resta de una sola línea.

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   Resta el total de cada ecuación duplicada. En $x+y+2z=70$ el miembro izquierdo es exactamente $(x+y+z)+z$, así que

   $z=70-43.5=26.5.$

   El mismo truco en las otras dos da

   $y=54-43.5=10.5,\qquad x=50-43.5=6.5.$

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   Verifica las tres condiciones originales. Con $x=6.5$, $y=10.5$, $z=26.5$:

   $\frac{6.5+10.5}{2}+26.5=8.5+26.5=35,\qquad \frac{6.5+26.5}{2}+10.5=16.5+10.5=27,$

   $\frac{10.5+26.5}{2}+6.5=18.5+6.5=25.$

   Las tres coinciden.

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   Selecciona el mayor nivel. Comparando $6.5$, $10.5$ y $26.5$, la especia más picante tiene un nivel de

   $z=26.5=\tfrac{53}{2}.$

   Fíjate en el atajo que regala la estructura: el mayor nivel siempre va emparejado con el mayor de los tres totales dados, porque $z=(\text{el valor duplicado de su ecuación})-43.5$.