Resuelve 43681x⁶ − 22932.5x⁵ + 3931.3x⁴ − 221.1x³ + 1.945e-7 = 0.

Step-by-step solution

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   Observa por qué no se puede simplemente descartar el término constante. Sin él la ecuación factoriza como $x^3(43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1)=0$, con una raíz triple en $x=0$. La minúscula constante $1.945\times10^{-7}$ perturba esa raíz triple y la convierte en tres raíces pequeñas agrupadas cerca del origen, así que controla todo el comportamiento para $x$ pequeño y hay que conservarla.

2. 2

   Halla las tres raíces grandes a partir del factor cúbico. Para $x$ bien alejado de cero la constante es despreciable y las raíces son las de

   $43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1=0$

   Cambios de signo: $f(0.14)<0$, $f(0.15)>0$, $f(0.16)<0$, $f(0.23)>0$. Bisecando cada intervalo sobre la séxtica completa se obtiene

   $x=0.14670508,\qquad x=0.15345189,\qquad x=0.22484227$

   Las dos primeras distan solo $0.0067$, así que un método que avance con pasos demasiado gruesos se saltará una de ellas.

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   Separa las tres raíces pequeñas cercanas al origen. Para $|x|\ll 1$ la séxtica está dominada por $-221.1x^3+1.945\times10^{-7}$, lo que da la estimación $x^3\approx 8.797\times10^{-10}$, es decir, $|x|\approx 9.6\times10^{-4}$. Refinando con Newton sobre el polinomio completo se obtiene el valor real

   $x=0.000963677$

   y las otras dos son sus compañeras complejas de raíz cúbica, $x\approx-0.00048175\pm0.00082509\,i$.

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   Confirma el recuento. Un polinomio de grado seis tiene exactamente seis raíces contadas con multiplicidad. Tenemos cuatro reales ($0.000963677$, $0.14670508$, $0.15345189$, $0.22484227$) y un par conjugado: seis en total, así que no falta ninguna.

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   Comprueba cada raíz real por su residuo. Al sustituirlas se obtienen residuos de $2.6\times10^{-23}$, $1.2\times10^{-16}$, $5.2\times10^{-18}$ y $3.4\times10^{-16}$, todos nulos con precisión de máquina ✓. En cambio, un conjunto que se cita a menudo y que contiene $0.0887304343$ y $0.2575361876$ produce residuos de $-0.0156$ y $+0.2814$, así que esos valores no son raíces de esta ecuación.