Resuelve 4^x = 80 para x.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba si $80$ es una potencia de $4$. Las potencias son $4^1=4$, $4^2=16$, $4^3=64$, $4^4=256$. Como $64<80<256$, el exponente no es entero y queda estrictamente entre $3$ y $4$: conviene anotarlo ya como acotación de la respuesta final.

2. 2

   Toma logaritmos en ambos miembros. Sirve cualquier base; el logaritmo convierte el exponente en un factor:

   $\ln\left(4^x\right)=\ln 80\quad\Longrightarrow\quad x\ln 4=\ln 80$

3. 3

   Despeja $x$ y nombra la forma exacta.

   $x=\frac{\ln 80}{\ln 4}=\log_4 80$

   Esto es la fórmula de cambio de base leída al revés: $\log_b a=\tfrac{\ln a}{\ln b}$.

4. 4

   Evalúa numéricamente. Con $\ln 80\approx 4.3820266$ y $\ln 4\approx 1.3862944$:

   $x\approx\frac{4.3820266}{1.3862944}\approx 3.16096$

5. 5

   Contrasta con la acotación y con una sustitución. El valor $3.161$ sí está entre $3$ y $4$ $\checkmark$, y $4^{3.16096}\approx 80.000$ $\checkmark$. Una forma exacta alternativa: como $80=16\times 5$ y $16=4^2$, resulta $x=2+\log_4 5$, y $\log_4 5\approx 1.16096$ $\checkmark$.