Factoriza por completo (xy − 1)² + (x + y − 2)(x + y − 2xy).

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla el cuadrado. Usando $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ con $a=xy$ y $b=1$:

   $(xy-1)^{2}=x^{2}y^{2}-2xy+1.$

2. 2

   Desarrolla el producto en dos mitades. Separando el primer paréntesis como $(x+y)-2$:

   $(x+y)(x+y-2xy)=(x+y)^{2}-2xy(x+y)=x^{2}+2xy+y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2},$

   $-2(x+y-2xy)=-2x-2y+4xy.$

   Sumando ambos:

   $x^{2}+y^{2}+6xy-2x^{2}y-2xy^{2}-2x-2y.$

   El $6xy$ sale de $2xy+4xy$; reunir esas dos contribuciones separadas es el paso donde más se falla.

3. 3

   Suma las dos partes. Combinando con el cuadrado desarrollado y fusionando los términos en $xy$ ($-2xy+6xy=4xy$):

   $x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1.$

   Nueve términos, simétricos al intercambiar $x$ y $y$: una fuerte señal de que la factorización también será simétrica.

4. 4

   Reconoce el cuadrado perfecto. Considera $t=xy-x-y+1$. Al elevarlo al cuadrado:

   $t^{2}=x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1-2x^{2}y-2xy^{2}+2xy+2xy-2x-2y=x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1,$

   que coincide exactamente con el desarrollo. Por lo tanto, toda la expresión vale $t^{2}$.

5. 5

   Factoriza $t$ y escribe la respuesta. Agrupando, $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)$, de modo que

   $(xy-1)^{2}+(x+y-2)(x+y-2xy)=\left[(x-1)(y-1)\right]^{2}=(x-1)^{2}(y-1)^{2}.$

   Por eso la expresión nunca es negativa, y se anula exactamente cuando $x=1$ o $y=1$. Comprobación numérica en $(x,y)=(1.8,-0.4)$: las dos formas dan $1.2544$ ✓, y otras dos parejas aleatorias coinciden hasta nueve cifras.