Resuelve la inecuación 25 − 3(n − 2) ≥ −8n + 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Distribuye el -3 vigilando el segundo signo. $-3\cdot n=-3n$ y $-3\cdot(-2)=+6$, así que el paréntesis se abre como

   $25-3n+6\ge -8n+6$

2. 2

   Agrupa las constantes del miembro izquierdo. $25+6=31$:

   $31-3n\ge -8n+6$

3. 3

   Suma 8n a los dos miembros. Esto reúne la variable a la izquierda con coeficiente positivo, de modo que más adelante no hará falta invertir el sentido:

   $31+5n\ge 6$

4. 4

   Resta 31 para aislar 5n.

   $5n\ge -25$

5. 5

   Divide entre el 5, que es positivo. Como $5>0$, el signo $\ge$ se mantiene intacto, y $-25$ es divisible entre $5$, así que la cota sale como un entero limpio:

   $n\ge -5$

   Esta es la diferencia estructural con la versión $-2$ del mismo problema, donde la cota resulta ser $-\tfrac{23}{6}$.

6. 6

   Verifica la frontera y los dos lados de ella. En $n=-5$: izquierda $=25-3(-7)=46$ y derecha $=40+6=46$; se cumple la igualdad ✓. En $n=0$ (dentro): $25+6=31\ge6$ ✓. En $n=-6$ (fuera): izquierda $=25-3(-8)=49$, derecha $=48+6=54$, y $49\ge54$ es falso ✓, lo que confirma que el conjunto solución es exactamente $[-5,\infty)$.