Resuelve la ecuación con valor absoluto anidado: el valor absoluto de (el valor absoluto de x, menos 4) es igual a 5.

Step-by-step solution

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   Quita primero las barras exteriores. Para cualquier expresión $A$, la afirmación $|A|=5$ significa $A=5$ o $A=-5$. Trata $A=|x|-4$ como un único bloque por ahora:

   $|x|-4=5\qquad\text{o}\qquad |x|-4=-5.$

   Trabajar de dentro hacia fuera en vez de fuera hacia dentro es justo lo que vuelve confusos los módulos anidados.

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   Resuelve la primera rama.

   $|x|-4=5\ \Longrightarrow\ |x|=9\ \Longrightarrow\ x=9\ \text{o}\ x=-9.$

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   Resuelve la segunda rama.

   $|x|-4=-5\ \Longrightarrow\ |x|=-1.$

   Un valor absoluto es una distancia al cero y nunca puede ser negativo, así que esta rama no aporta ninguna solución. Reconocer pronto una rama muerta ahorra el trabajo de seguir desdoblándola.

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   Reúne las soluciones que sobreviven.

   $x=9\quad\text{o}\quad x=-9.$

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   Verifica ambas en la ecuación original. En $x=9$: $\bigl||9|-4\bigr|=|9-4|=|5|=5$ ✓. En $x=-9$: $\bigl||-9|-4\bigr|=|9-4|=5$ ✓. Las dos se cumplen, así que el conjunto solución es $\{-9,9\}$.