Dados −2 < a < 1 y 1 < b < 2, ¿cuáles son correctas? A: −4 < a − b < 0. B: −2 < ab < 2. C: −2 < a/b < 1. D: ab − 2 < a − 2b.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija la regla correcta para restar. Las desigualdades se pueden sumar, pero no restar directamente; en su lugar hay que cambiar primero el sentido de la segunda. De $1<b<2$ se obtiene $-2<-b<-1$, y al sumarla con $-2<a<1$ queda

   $-4<a-b<0$

   Así que A es correcta, y las cotas son óptimas (se aproximan cuando $a\to-2,b\to 2$ y cuando $a\to 1,b\to 1$).

2. 2

   B es falsa: revisa las esquinas extremas del producto. Como $a$ puede ser negativo, los extremos de $ab$ se alcanzan en las esquinas del rectángulo: $ab$ recorre desde $(-2)(2)=-4$ hasta $(1)(2)=2$, de modo que

   $-4<ab<2$

   Los valores por debajo de $-2$ ocurren de verdad: $a=-1.8$, $b=1.9$ da $ab=-3.42$. Incorrecta.

3. 3

   C es correcta. Como $b>0$, dividir conserva los sentidos, y el cociente es máximo cuando $a$ es máximo y $b$ mínimo, y mínimo cuando $a$ es lo más negativo posible y $b$ mínimo:

   $\frac{a}{b}>\frac{-2}{1}=-2,\qquad \frac{a}{b}<\frac{1}{1}=1$

   así que $-2<\dfrac ab<1$. Correcta.

4. 4

   D es falsa: reescríbela como un producto. La afirmación $ab-2<a-2b$ equivale a

   $ab-a+2b-2<0\quad\Longleftrightarrow\quad a(b-1)+2(b-1)<0\quad\Longleftrightarrow\quad (a+2)(b-1)<0$

   Pero $a>-2$ da $a+2>0$, y $b>1$ da $b-1>0$, así que el producto es positivo para todo par admisible. La desigualdad enunciada es por tanto siempre falsa. Incorrecta.

5. 5

   Concluye y verifica con un punto de muestra.

   $\boxed{\text{A y C}}$

   Toma $a=0$, $b=1.5$: $a-b=-1.5\in(-4,0)$ ✓; $ab=0\in(-4,2)$ (y también en $(-2,2)$, razón por la cual B necesita una prueba en las esquinas para quedar refutada); $a/b=0\in(-2,1)$ ✓; y $ab-2=-2$ frente a $a-2b=-3$, así que $-2<-3$ es falso ✓, lo que confirma que D falla.