Sea Z1 = 4i/(1 − i elevado a 555) y Z2 = (7 por i elevado a 88 + 24 por i elevado a 33)/(5i). Hallar el módulo de (conjugado de Z1) por Z2 al cuadrado, dividido entre Z1.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplificar el objetivo con las propiedades del módulo antes de tocar los números. El módulo es multiplicativo, así que $\left|\frac{\overline{Z_1}\,(Z_2)^2}{Z_1}\right| = \frac{|\overline{Z_1}|\,|Z_2|^2}{|Z_1|}.$ Como el conjugado tiene el mismo módulo, $|\overline{Z_1}| = |Z_1|$, y los factores $Z_1$ se cancelan: la respuesta es simplemente $|Z_2|^2$. $Z_1$ resulta irrelevante - una trampa deliberada del enunciado.

2. 2

   Reducir las potencias de i usando su periodo 4. $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, así que solo importa el exponente módulo $4$. Como $88 \equiv 0 \pmod 4$, resulta $i^{88}=1$; y como $33 \equiv 1 \pmod 4$, resulta $i^{33}=i$.

3. 3

   Sustituir en Z2. $Z_2 = \frac{7(1)+24(i)}{5i} = \frac{7+24i}{5i}.$

4. 4

   Quitar la unidad imaginaria del denominador. Se multiplica arriba y abajo por $-i$, usando $i\cdot(-i) = -i^2 = 1$: $Z_2 = \frac{(7+24i)(-i)}{5} = \frac{-7i-24i^2}{5} = \frac{24-7i}{5} = \frac{24}{5}-\frac{7}{5}i.$

5. 5

   Calcular el módulo al cuadrado. Con $a=\tfrac{24}{5}$ y $b=-\tfrac{7}{5}$: $|Z_2|^2 = a^2+b^2 = \frac{576}{25}+\frac{49}{25} = \frac{625}{25} = 25.$ La terna pitagórica $7$-$24$-$25$ es la razón de que la respuesta salga un entero limpio.

6. 6

   Comprobar numéricamente. Como $555 \equiv 3 \pmod 4$, se tiene $i^{555} = -i$ y $Z_1 = \tfrac{4i}{1+i} = 2+2i$. Evaluar $\left|\tfrac{(2-2i)(24/5-7i/5)^2}{2+2i}\right|$ de forma directa da $25.000$, lo que confirma tanto el atajo como la aritmética.