Simplificar el producto (2x − √(2x) − 1)(2x + √(2x) − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Buscar el patrón de conjugados en lugar de multiplicar nueve términos. Los dos factores son idénticos salvo por el signo delante de $\sqrt{2x}$. Esa es la firma de $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, siempre que los términos se agrupen correctamente.

2. 2

   Elegir la agrupación. Se pone en $a$ todo lo que no cambia de signo y en $b$ el radical:

   $a = 2x - 1, \qquad b = \sqrt{2x}$

   Entonces el producto es exactamente $\left(a - b\right)\left(a + b\right)$.

3. 3

   Aplicar la identidad.

   $\left(a-b\right)\left(a+b\right) = a^2 - b^2 = (2x-1)^2 - \left(\sqrt{2x}\right)^2$

   El radical desaparece en un solo paso; por eso vale la pena detectar la agrupación.

4. 4

   Desarrollar cada cuadrado.

   $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1, \qquad \left(\sqrt{2x}\right)^2 = 2x$

5. 5

   Restar y agrupar.

   $4x^2 - 4x + 1 - 2x = 4x^2 - 6x + 1$

6. 6

   Comprobar numéricamente en x = 2. Los factores valen $4 - 2 - 1 = 1$ y $4 + 2 - 1 = 5$, con producto $5$. La forma simplificada da $4(4) - 6(2) + 1 = 16 - 12 + 1 = 5$. Coinciden. (Nótese que la expresión original necesita $x \ge 0$ por el radical, mientras que la forma polinómica está definida para todo $x$.)