Resolver |x + 66| = |x − 88|.

Step-by-step solution

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   Traduce cada miembro a una distancia. $|x+66|=|x-(-66)|$ es la distancia de $x$ a $-66$, y $|x-88|$ es la distancia de $x$ a $88$. Por tanto, la ecuación dice: $x$ está a la misma distancia de $-66$ que de $88$.

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   Usa el atajo del punto medio. En la recta hay exactamente un punto equidistante de dos puntos distintos: su punto medio.

   $x=\frac{-66+88}{2}=\frac{22}{2}=11$

   Esta única línea sustituye al álgebra habitual de dos casos.

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   Contrástalo con el método algebraico. Al quitar los valores absolutos salen dos casos. Caso 1: $x+66=x-88$, que se reduce a $66=-88$, imposible, así que aquí no hay solución (esto ocurre siempre que los dos interiores tienen el mismo coeficiente en $x$). Caso 2: $x+66=-(x-88)=-x+88$, de donde $2x=22$ y $x=11$ ✓, la misma respuesta.

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   Entiende por qué se desmoronó un caso. Las dos expresiones tienen coeficiente $+1$ en $x$, así que igualarlas cancela la variable por completo y deja un enunciado numérico falso. Solo el caso con el signo cambiado puede dar solución, y por eso la respuesta es un único punto y no dos.

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   Verifica por sustitución.

   $|11+66|=|77|=77,\qquad |11-88|=|-77|=77$

   Los dos miembros valen $77$ ✓. Un barrido de $40{,}001$ puntos racionales exactos en $[-200,200]$ muestra que $x=11$ es la solución única ✓, y la distancia de $11$ a $-66$ y a $88$ es, en efecto, $77$ ✓.