Resuelve -0.0164x² + 0.3655x + 25.151 = 0 para x.

Step-by-step solution

1. 1

   Observa lo pequeño que es el coeficiente principal. Con $a=-0.0164$, $b=0.3655$, $c=25.151$, el término cuadrático solo se vuelve comparable a la constante cuando $x$ está en el orden de las decenas:

   $|a|x^2\approx 25\ \Longrightarrow\ x\approx\sqrt{\tfrac{25}{0.0164}}\approx 39$

   Así que las raíces deberían ser grandes en valor absoluto: una expectativa útil antes de calcular nada.

2. 2

   Calcula el discriminante.

   $\Delta=0.3655^2-4(-0.0164)(25.151)=0.133590+1.649906=1.783496$

   $\sqrt{\Delta}=1.335476$

   Cosa poco habitual, aquí $b^2$ y $-4ac$ son de tamaño parecido, porque tanto $a$ como $b$ son pequeños.

3. 3

   Aplica la fórmula general.

   $x=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{2(-0.0164)}=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{-0.0328}$

   Dividir entre el muy pequeño $-0.0328$ es lo que amplifica un numerador modesto hasta convertirlo en una raíz grande.

4. 4

   Evalúa las dos raíces.

   $x_1=\frac{-0.3655+1.335476}{-0.0328}=-29.5724,\qquad x_2=\frac{-0.3655-1.335476}{-0.0328}=51.8590$

   El vértice está en $x=-\tfrac{b}{2a}=\tfrac{0.3655}{0.0328}=11.143$, exactamente a mitad de camino entre las raíces, con valor máximo $y\approx 27.19$.

5. 5

   Comprueba con las fórmulas de Vieta. La suma debe ser $-\tfrac{b}{a}=\tfrac{0.3655}{0.0164}=22.2866$, y $-29.5724+51.8590=22.2866\;\checkmark$. El producto debe ser $\tfrac{c}{a}=\tfrac{25.151}{-0.0164}=-1533.60$, y $(-29.5724)(51.8590)=-1533.60\;\checkmark$. Ambas comprobaciones son especialmente valiosas aquí, ya que dividir entre un número pequeño amplifica cualquier error de redondeo del numerador.