Resuelve la inecuación (h + 0.9)/√(1 + h²) < h.

Step-by-step solution

1. 1

   Elimina el denominador sin riesgo. Como $\sqrt{1+h^2} \ge 1 > 0$ para todo $h$ real, multiplicar por él no invierte la desigualdad:

   $h + 0.9 < h\sqrt{1+h^2}$

   Después aísla el $0.9$ restando $h$:

   $0.9 < h\left(\sqrt{1+h^2} - 1\right)$

2. 2

   Descarta de inmediato h ≤ 0. El paréntesis cumple $\sqrt{1+h^2} - 1 \ge 0$ para todo $h$, así que si $h \le 0$ el lado derecho es $\le 0$, mientras que el izquierdo vale $0.9 > 0$. Ningún $h$ no positivo puede servir, y la búsqueda se reduce a $h > 0$.

3. 3

   Eleva al cuadrado sabiendo que ambos lados son positivos. Para $h > 0$, divide entre $h$ y suma $1$:

   $1 + \frac{0.9}{h} < \sqrt{1+h^2}$

   Ahora ambos lados son positivos, así que elevar al cuadrado es una equivalencia y no una implicación en un solo sentido:

   $1 + \frac{1.8}{h} + \frac{0.81}{h^2} < 1 + h^2$

4. 4

   Quita las potencias de h para llegar a una cuártica. Resta $1$ y multiplica por $h^2 > 0$:

   $1.8h + 0.81 < h^4 \quad \Longrightarrow \quad g(h) = h^4 - 1.8h - 0.81 > 0$

5. 5

   Halla la única raíz positiva de la cuártica. En $h > 0$, $g'(h) = 4h^3 - 1.8$ se anula solo en $h = \sqrt[3]{0.45} \approx 0.7663$, así que $g$ primero baja y luego sube: con $g(0) = -0.81 < 0$ hay exactamente una raíz positiva. El método de Newton partiendo de $h_0 = 1.34$ da

   $h_* = 1.3397213599 \quad (g(h_*) \approx 10^{-39} \ \text{con precisión de 40 dígitos})$

   El valor $1.35082$ que suele citarse es incorrecto: allí $g = +0.0881$, muy lejos de cero.

6. 6

   Reúne el conjunto solución y compruébalo. $g > 0$ para $h > h_*$, así que

   $h > 1.3397213599\ldots$

   La sustitución directa en la desigualdad original confirma la frontera: en $h = 1.339$ el lado izquierdo menos el derecho vale $+0.00075$ (no se cumple), en $h = 1.3398$ vale $-0.000082$ (se cumple) y en $h = 1.35$ vale $-0.0107$ (se cumple). Redondeando, la respuesta es $h > 1.3397$.